连续
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连续函数，在数学中是指这样的一个函数，即对于输入的任意小的变化产生输出的任意小的变化。如果输入的微小的变化会产生输出的变化的一个突然的跳跃，则这个函数被称为是不连续的（或者说具有不连续性）。
作为一个例子，考虑描述一朵随着时间成长的花的高度的函数h(t)。这个函数是连续的（除非被折断）。 作为另外一个例子，如果T(x)表示在高度为x的地方的空气温度，则这个函数也是连续的。事实上，古典物理学中有一局格言是这样说的，“在自然界，所有的都是连续的。” 相比之下，如果M(t)表述在时间t的时候银行账户上的钱币金额，则这个函数无论在存钱或者取钱的时候都会有跳跃，因此这个函数M(t)是不连续的。
在一些数学学科中还有一些连续性的特殊用法。可能最常用的一个，在拓扑学中， 在条目连续函数 (拓扑学)中会有详细论述。在序理论特别是域理论中，在那里人们考虑的是从这个基础概念中得出的一个概念斯科特连续性。
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[编辑] 实值连续函数
假设我们有一个从实数到实数的映射，并且定义在某个区间上，如同上面提到的h，T 和M。 这类函数可以用笛卡尔坐标系中的图来表示。这个函数是连续的如果，粗略地说，它的图为一个单一的不破的曲线，并且没有空洞和跳跃（如果可以用手单笔画成（铅笔不离开纸张））。
精确地说，我们说函数f 在某个点c 处是连续的当以下的两个条件满足：
我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。
[编辑] <math>\varepsilon-\delta</math>定义
不用极限，我们也可以用下面的方法来定义实值函数的连续性。
再一次地考虑一个从一个实数集映射到另一个实数集的函数<math>f</math>，假设<math>c</math>是<math>f</math>的定义域中的元素。函数<math>f</math>被称为是在<math>c</math> 点连续当且仅当以下条件成立：
- 对于任意的数<math>\varepsilon >0</math>，存在一个正数<math>\delta > 0</math> 使得对于任意定义域中的<math>x</math>， 只要<math>x</math>满足<math>c-\delta<x<c+\delta</math>，就有
<math>f(c)-\varepsilon <f(x)<f(c)+\varepsilon</math>。
可以换种写法，
- 给定<math>I,D\subset\mathbb{R}</math>，函数<math>f:I \to D</math>在<math>c\in\mathbb{R}</math>处连续是指，对于所有的<math>\varepsilon>0</math>，存在一个<math>\delta>0</math>满足<math>|x-c|<\delta</math>以及<math>x\in I</math>意味着<math>|f(x)-f(c)|<\varepsilon</math>。
这个连续性的“<math>\varepsilon-\delta</math> 定义”由柯西首先给出。
更直观地，对于上面提到的函数<math>f:I\mapsto D</math>，我们可以说，如果我们任意取一个<math>D</math>中的点<math>f(c)</math>的邻域且让<math>f(x)</math>留在<math>f(c)</math>的邻域内，而不管<math>f(c)</math>的邻域有多小(但不能只有一点<math>f(c)</math> )，我们可以在其原像<math>I</math>中选取足够小的点<math>x</math>的邻域，使得<math>x</math>的邻域在函数<math>f</math>上的映射下都会落在<math>f(c)</math> 的邻域之内；则我们就说<math>f(x)</math>在点<math>c</math>处连续。
以上是针对单变量函数的定义，这在一般化到多变量函数时也是成立的。下面还会提到度量空间以及拓扑空间之间的连续函数。
[编辑] 历史
第一个比较严格的定义归功于Bernard Bolzano。他在1817年用德文写下的定义是这样的：函数<math>f</math>在<math>x</math>点是连续的，当且仅当「...若<math>h</math>足够小时，<math>f(x+h)-f(x)</math>比任何事先给定的量都小」(the difference f(x+h)-f(x) can be made smaller than any given quantity, if h is taken sufficiently small.)[1]。然后Bolzano在证明中值定理时用<math>\epsilon</math>来表示所谓「事先给定的量」(given quantity)。
1823年，即六年以后，Cauchy也给了一个定义，但此定义还不如Bolzano前面给出的定义清楚:...「<math>f(x+h)-f(x)</math>的大小随着<math>h</math>的减小而不确定地减小。」(the magnitude of the difference f(x+h)-f(x) decreases indeifinitely with that of h)...「变量(指x)的一个无穷小的增长会导致函数本身(指f(x))的一个无穷小的增长」(an infinitesimal increment in the variable produces an infinitesimal increment in the function itself)。这里的无穷小指的是：一个量的「连绵不断的绝对值不定地减小以至于小于任何一个事先给定的量」(successive absolute values decrease indefinitely so as to become less than any given quantity)。
现代的定义只要照着Bolzano在其证明里的写法用<math>\epsilon</math>来代表「事先给定的量」(given quantity)就可以了。这种现代定义第一次公开发表在刊物上是1874年由Weierstrass的一个学生Heine根据Weierstrass的讲义而做到的。
至于为什么<math>\epsilon-\delta</math>记法的发明归功于Weierstrass而不是Bolzano，这看起来像是概念的提出者和推广者之间的差别。一个所谓「Arnol'd原理」("Arnol'd principle")说过：「如果一个概念或者定理是以人名命名的，那么这个人名肯定不是最初那个发现者的名字」("if a certain concept or theorem carries a person's name, then it is almost certain that person did not originate that principle")[2]。很有反讽意味的是，Arnol'd本人和此「Arnol'd原理」无关。
[编辑] 相关条目
[编辑] 参考文献
- Visual Calculus by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001)
